sinx/xの広義積分をフーリエ変換を用いて計算する
今回は、$\int^\infty_{-\infty} \frac{\sin x}{x}dx$をフーリエ変換を用いて解いてみる。
問題
$$\int^\infty_{-\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$
解法
まず、以下のような関数$f(x)$を考える。
$$f(x) = \left\{\begin{array}{l} 0\qquad (x<-1) \\ 1\qquad (-1\leq x\leq 1) \\ 0\qquad (x>1) \end{array}\right.$$
なんでこれを考えるかはわかりませんが、これでうまくいきます。教えて偉い人。
続いて、$f(x)$をフーリエ変換し、関数$F(\omega)$とする。フーリエ変換の公式は以下の通りである：
$$\boxed{F(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx}$$
この公式に$f(x)$を代入することでフーリエ変換する。今回は幸運にも$x<-1,\;x>1$のとき$f(x)=0$であるから、ずいずい計算していくと以下のようになる。
$$\require{cancel}\begin{eqnarray} F(\omega)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx \\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^1_{-1}1\cdot e^{-i\omega x}dx \\ &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\biggl[-\frac{1}{i\omega}e^{-i\omega x}\biggr]^1_{-1} \\ &=&\frac{1}{i\omega \sqrt{2\pi}}\bigl( -e^{-i\omega}+e^{i\omega} \bigr) \\ &=&\frac{1}{i\omega \sqrt{2\pi}}\{-\cos{(-\omega)}-i\sin{(-\omega)}+\cos{\omega}+i\sin{\omega}\} \\ &=& \frac{1}{i\omega \sqrt{2\pi}}\{\cancel{-\cos{\omega}}+\cancel{\cos{\omega}}+i\sin{\omega}+i\sin{\omega}\} \\ &=&\frac{1}{\cancel{i}\omega \sqrt{2\pi}} \cdot (2\cancel{i}\sin{\omega}) \\ &=&\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin{\omega}}{\omega} \end{eqnarray}$$
以上より、$f(x)$をフーリエ変換した結果$F(\omega)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin{\omega}}{\omega}$である。とりあえずここまで計算お疲れさまでした。
続いて、いま計算した$F(\omega)$をフーリエ逆変換の公式に当てはめて計算していきます。
えっ！？フーリエ逆変換したら元の関数$f(x)$に戻っちゃうんじゃないの？と思うかもしれませんが、実はこれ、フーリエ逆変換を計算するわけではありません。
単純に、フーリエ逆変換の公式を$f(x)$と$F(\omega)$に関する恒等式的に使います。実際に見てもらったほうが早いかもしれません。
まずその前に、フーリエ逆変換の公式を以下に示す：
$$\boxed{f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega}$$
では、上の式にとりあえず$F(\omega)$を代入してみよう。
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin{\omega}}{\omega}e^{i\omega x}d\omega$$
この等式は常に成り立つ恒等式である。そこで、両辺に$x=0$を代入してみよう。
$$\begin{eqnarray} f(0)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{\sin{\omega}}{\omega}e^{i\omega \cdot 0}d\omega \\ &=&\frac{1}{\pi}\int^\infty_{-\infty}\frac{\sin{\omega}}{\omega}d\omega \end{eqnarray}$$
仮定より$f(0)=1$であるから、
$$\begin{eqnarray} 1&=&\frac{1}{\pi}\int^\infty_{-\infty}\frac{\sin{\omega}}{\omega}d\omega \\ \pi&=&\int^\infty_{-\infty}\frac{\sin{\omega}}{\omega}d\omega \end{eqnarray}$$
よって
$$\begin{eqnarray} \int^\infty_{-\infty}\frac{\sin{\omega}}{\omega}d\omega&=&\pi \\ \int^\infty_{-\infty}\frac{\sin{x}}{x}dx&=&\pi \end{eqnarray}$$
すなわち、求める解は$\pi$である。
コラム
ディリクレ積分
$\int^\infty_0 \frac{\sin x}{x}dx$を特にディリクレ積分(Dirichlet integral)という。
この値は$\frac{\pi}{2}$となることが知られている。
これを計算するためには、上記の「解法」の最初の$f(x)$の定義を以下のようにすれば良い。
$$f(x) = \left\{\begin{array}{l} 0\qquad (x<-\frac{1}{2}) \\ 1\qquad (-\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{1}{2}) \\ 0\qquad (x>\frac{1}{2}) \end{array}\right.$$
