偏微分方程式を解く（変数変換法）

今回は変数変換法で偏微分方程式を解く。

問題

次の偏微分方程式を解け。

$$5\frac{\partial u}{\partial x} + 6\frac{\partial u}{\partial y} = u$$

右辺が0でないので解きにくいパターンである。

問題の出典：橋爪秀利『工学系学生のための数学物理学演習』共立出版 第20章の演習問題20.3。p.104

解法

まず、以下のように変数変換してみる。

$$\left\{ \begin{array}{1} s = ax+by \\ t=cx+dy \end{array} \right.$$

なお、$a, \ b, \ c, \ d$は定数で、値は何だったとしても成立するなぜ？が、とりあえず文字のまま計算していく。

すると、チェーンルールにより$\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y}$はそれぞれ以下のように変形できる。

$$\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial x} &=& \frac{\partial u}{\partial s}\cdot\frac{\partial s}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial x} \\ &=& a\frac{\partial u}{\partial s} + c\frac{\partial u}{\partial t} \\ \\ \frac{\partial u}{\partial y} &=& \frac{\partial u}{\partial s}\cdot\frac{\partial s}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial y} \\ &=& b\frac{\partial u}{\partial s} + d\frac{\partial u}{\partial t} \end{eqnarray}$$

以上で変形した$\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y}$を元の問題の式$5\frac{\partial u}{\partial x} + 6\frac{\partial u}{\partial y} = u$に代入して整理すると

$$(5a+6b)\frac{\partial u}{\partial s} + (5c+6d)\frac{\partial u}{\partial t} = u$$

となる。

ここで、$5a+6=0$または$5c+6d=0$ならば常微分方程式に帰着できる。

$a, \ b, \ c, \ d$は任意の定数であったことを思い出し、ここでは$5c+6d=0$とする。

そこで$5c+6b=0$を代入すると、以下の常微分方程式に帰着できる。

$$(5a+6b)\frac{\partial u}{\partial s} = u$$

両辺を積分して整理していくと

$$\begin{eqnarray} (5a+6b)\frac{\partial u}{\partial s} &=& u \\ \frac{5a+6b}{u} \partial u &=& \partial s \\ \int \frac{5a+6b}{u} \partial u &=& \int \partial s \\ (5a+6b)\ln{(u)} &=& s + \textcolor{blue}{f(x, \ y)} \\ \ln{(u)} &=& \frac{s}{5a+6b} + {f(x, \ y)} \\ u &=& \exp{(\frac{s}{5a+6b} + {f(x, \ y)})} \\ u &=& \exp{\frac{s}{5a+6b}}\cdot{f(x, \ y)} \end{eqnarray}$$

なお、${f(x, \ y)}$は任意の関数で、積分定数の代わりのようなものである。

$f(x, \ y)$の$t$に、先ほど$0$とした$5c+6b=0$を満たす$(c, \ d)$、例えば$(c, \ d)=(6, \ -5)$を$t=cx+dy$に代入した$t=6x-5y$を代入してなぜ？、注：$(c, \ d)=(0, \ 0)$のような、どちらかが0になる値はだめらしい。

$$\exp{\frac{s}{5a+6b}}\cdot{f(6x-5y)}$$

仕上げに、$s$の定義$s = ax+by$を代入して、

$$u = \exp{\frac{ax+by}{5a+6b}}\cdot {f(6x-5y)}$$

コラム

なぜ定数$a, \ b, \ c, \ d$は任意の定数なのか

任意の値といえども、上の例で言えば$5c+6d=0$のみ縛りは存在する。

最後の計算結果をよく見てみよう。以下に再掲する。

$$u = \exp{\frac{ax+by}{5a+6b}}\cdot {f(6x-5y)}$$

これを見る限り、どうやら$ax+by, \ cx+dy$は、少なくとも、たとえ定数倍しても、積分定数の代わりのような任意関数である$f(x)$の部分に吸収できる。

じゃあ他は？一般の偏微分方程式では？わからん。

なぜ？と書いたところわかる方いらっしゃったらコメントでおしえてください！