定理の内容 $$\left( \cos{\theta} + i\sin{\theta} \right) ^n = \left( \cos{n \theta} + i\sin{n \theta} \right)$$ 証明（？） オイラーの公式$\cos{\theta} + i\sin{\theta} = e^{i\theta}$を利用して $$\left(左辺\right) = \left( e^{i\theta} \right…

注意：この記事は執筆中です。 はじめに 大学の線形代数学で扱うベクトルは、高校の時のように有向線分で表されるようなものではありません。 すなわち、向きと大きさを持った値、などというある意味曖昧な定義をしているわけではありません。 ベクトルは、…

今回は変数変換法で偏微分方程式を解く。 問題 次の偏微分方程式を解け。 $$5\frac{\partial u}{\partial x} + 6\frac{\partial u}{\partial y} = u$$ 右辺が0でないので解きにくいパターンである。 問題の出典：橋爪秀利『工学系学生のための数学物理学演習…

今回は、$\int^\infty_{-\infty} \frac{\sin x}{x}dx$をフーリエ変換を用いて解いてみる。 問題 以下の積分値を、フーリエ変換を用いて求めよ。 $$\int^\infty_{-\infty} \frac{\sin x}{x}dx$$ 解法 まず、以下のような関数$f(x)$を考える。 $$f(x) = \left\…

英語ではmethod of Lagrange multiplierと言います。 目的 ある束縛条件$g(x,y)=0$のもとで、ある2変数関数$f(x,y)$が極値を取る$(x,y)=(a,b)$を見つけること。 例えば、ある山脈（曲面$f(x,y)$）を曲線g(x,y)=0に従って歩くとき、どの地点$(a,b)$における標…

二次方程式とは、最大の次数が２である方程式の総称である。特に$y=ax^2+bx+c$の形で表されたものを基本形、$y=a(x-i)^2+j$の形で表されるものを標準形という。また、円を表す方程式$x^2+y^2=R$のように陰関数で表された方程式も二次方程式と呼ぶ。 基本形と…