Sanctuary

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Memorandum about what I learned and thought today

ガウスの法則を、疎漏的に導出する。

注:以下は厳密な議論ではありません。大体、私みたいな学生が厳密な議論を正しく解釈するのは困難だと思っています。

$$\begin{eqnarray} E &=& \frac{1}{4\pi ε_0} \cdot \frac{Q}{R^2} \\\ E &=& \frac{1}{4\pi R^2} \cdot \frac{Q}{ε_0} \\\ E &=& \frac{1}{S} \cdot \frac{Q}{ε_0} \\\ ES &=& \frac{Q}{ε_0} \\\ \int E dS &=& \sum ^n _{i=1} \frac{Q_i}{ε_0} \\\ \textcolor{red}{\int_{S_0} \vec{E}\cdot\vec{n} dS} &=& \textcolor{red}{\sum ^n _{i=1}\frac{Q_i}{ε_0}} \end{eqnarray}$$

上の式は、電荷が離散的に存在する場合の式である。(Σ記号を使っているため)

そこで、電荷が連続的に存在する場合を考えたい。

電荷密度を $ ρ(x) = \frac{{d}Q}{dV}$と定義すると、$\sum^n_{i=1} Q_i$は、$\int_V ρ(x) d^3x$と書き直すことができる。

また、電束密度$\vec{D}=ε_0\vec{E}$と定義する。すると、

$$\begin{eqnarray} \textcolor{red}{\int_{S_0} D dS} &=& \textcolor{red}{\int_V ρ(x) d^3x} \end{eqnarray}$$

と書き直すことができる。

 

あとで微分形についても書くつもりです。